Colabore! Saiba mais screen_rotation

Ao navegar por este site , você concorda com a Política de Uso de Dados.

| | | | |

Python para Matemática 4 Elementos da Programação Estruturada 6 Gráficos

5 Elementos da computação matricial

Nesta seção, vamos explorar a NumPy (Numerical Python), biblioteca para tratamento numérico de dados. Ela é extensivamente utilizada nos mais diversos campos da ciência e da engenharia. Aqui, vamos nos restringir a introduzir algumas de suas ferramentas para a computação matricial.

Usualmente, a biblioteca é importada como segue

⬇

1>>> import numpy as np

5.1 NumPy array

Um array é uma tabela de valores (vetor, matriz ou multidimensional) e contém informação sobre os dados brutos, indexação e como interpretá-los. Os elementos são todos do mesmo tipo (diferente de uma lista Python), referenciados pela propriedade dtype. A indexação dos elementos pode ser feita por um tuple de inteiros não negativos, por booleanos, por outro array ou por números inteiros. O rank de um array é seu número de dimensões (chamadas de axes⁸⁸endnote: ⁸Do inglês, plural de axis, eixo.). O shape é um tuple de inteiros que fornece seu tamanho (número de elementos) em cada dimensão. Sua inicialização pode ser feita usando-se listas simples ou encadeadas. Por exemplo,

⬇

1>>> a = np.array([1,3,-1,2])

2>>> print(a)

3[ 1 3 -1 2]

4>>> a.dtype

5dtype('int64')

6>>> a.shape

7(4,)

8>>> a[2]

9-1

10>>> a[1:3]

11array([ 3, -1])

temos um array de números inteiros com quatro elementos dispostos em um único axis (eixo). Podemos interpretá-lo como uma representação de um vetor linha ou coluna, i.e.

a=(1,3,-1,2)

(28)

vetor coluna ou $a^{T}$ vetor linha.

Outro exemplo,

⬇

1>>> a = np.array([[1.0,2,3],[-3,-2,-1]])

2>>> a.dtype

3dtype('float64')

4>>> a.shape

5(2, 3)

6>>> a[1,1]

7-2.0

temos um array de números decimais (float) dispostos em um arranjo com dois axes (eixos). O primeiro axis tem tamanho $2$ e o segundo tem tamanho $3$ . Ou seja, podemos interpretá-lo como uma matriz de duas linhas e três colunas. Podemos fazer sua representação algébrica como

a=\begin{bmatrix}1&2&3\\ -3&-2&-1\end{bmatrix}

(29)

5.1.1 Inicialização de um array

O NumPy conta com úteis funções de inicialização de array. Vejam algumas das mais frequentes:

•

np.zeros(): inicializa um array com todos seus elementos iguais a zero.

⬇

1>>> np.zeros(2)

2array([0., 0.])
•

np.ones(): inicializa um array com todos seus elementos iguais a $1$ .

⬇

1>>> np.ones((3,2), dtype='int')

2array([[1, 1],

3 [1, 1],

4 [1, 1]])
•

np.empty(): inicializa um array sem alocar valores para seus elementos⁹⁹endnote: ⁹Atenção! Os valores dos elementos serão dinâmicos conforme “lixo” da memória..

⬇

1>>> np.empty(3)

2array([4.9e-324, 1.5e-323, 2.5e-323])
•

np.arange(): inicializa um array com uma sequência de elementos¹⁰¹⁰endnote: ¹⁰Similar a função Python range..

⬇

1>>> np.arange(1,6,2)

2array([1, 3, 5])
•

np.linspace(a, b[, num=n]): inicializa um array como uma sequência de elementos que começa em a, termina em b (incluídos) e contém n elementos igualmente espaçados.

⬇

1>>> np.linspace(0, 1, num=5)

2array([0. , 0.25, 0.5 , 0.75, 1. ])

5.1.2 Manipulação de arrays

Outras duas funções importantes no tratamento de arrays são:

•

arr.reshape(): permite a alteração da forma de um array.

⬇

1>>> a = np.array([-2,-1])

2>>> a

3array([-2, -1])

4>>> a.reshape(2,1)

5array([[-2],

6        [-1]])

O arr.reshape() também permite a utilização de um coringa -1 que será dinamicamente determinado de forma obter-se uma estrutura adequada. Por exemplo,

⬇

1>>> a = np.array([[1,2],[3,4]])

2>>> a

3array([[1, 2],

4       [3, 4]])

5>>> a.reshape((-1,1))

6array([[1],

7       [2],

8       [3],

9       [4]])
•

arr.transpose(): computa a transposta de uma matriz.

⬇

1>>> a = np.array([[1,2],[3,4]])

2>>> a

3array([[1, 2],

4 [3, 4]])

5>>> a.transpose()

6array([[1, 3],

7 [2, 4]])
•

np.concatenate(): concatena arrays.

⬇

1>>> a = np.array([1,2])

2>>> b = np.array([2,3])

3>>> c = np.concatenate((a,b))

4>>> c

5array([1, 2, 2, 3])

6>>> a = a.reshape((1,-1))

7>>> a.ndim

82

9>>> b = b.reshape((1,-1))

10>>> b

11array([[2, 3]])

12>>> d = np.concatenate((a,b), axis=0)

13>>> d

14array([[1, 2],

15 [2, 3]])

5.1.3 Operadores elemento-a-elemento

Os operadores aritméticos disponível no Python atuam elemento-a-elemento nos arrays. Por exemplo,

⬇

1>>> a = np.array([1,2])

2>>> b = np.array([2,3])

3>>> a+b

4array([3, 5])

5>>> a-b

6array([-1, -1])

7>>> b*a

8array([2, 6])

9>>> a**b

10array([1, 8])

11>>> 2*b

12array([4, 6])

O NumPy também conta com várias funções matemáticas elementares que operam elemento-a-elemento em arrays. Por exemplo,

⬇

1>>> a = np.array([np.pi, np.sqrt(2)])

2>>> a

3array([3.14159265, 1.41421356])

4>>> np.sin(a)

5array([1.22464680e-16, 9.87765946e-01])

6>>> np.exp(a)

7array([23.14069263, 4.11325038])

Observação 5.1.

O NumPy contém um série de outras funções práticas para a manipulação de arrays. Consulte NumPy: the absolute basics for beginners.

5.2 Elementos da álgebra linear

O NumPy conta com um módulo de álgebra linear

⬇

1>>> from numpy import linalg

5.2.1 Vetores

Um vetor podem ser representado usando um array de um eixo (dimensão) ou um com dois eixos, caso se queira diferenciá-lo entre um vetor linha ou coluna. Por exemplo, os vetores

	$\displaystyle a=(2,-1,7),$		(30)
	$\displaystyle b=(3,1,0)^{T}$		(31)

podem ser alocados com

⬇

1>>> x = np.array([2,-1,7])

2>>> y = np.array([3,1,0])

Caso queira-se que $x$ siga um arranjo em coluna, pode-se modificado como segue

⬇

1>>> a = a.reshape((-1,1))

2>>> a

3array([[ 2],

4 [-1],

5 [ 7]])

Como já vimos, o NumPy conta com operadores elemento-a-elemento que podem ser utilizados na álgebra envolvendo arrays, logo também aplicáveis a vetores (consulte a Subseção 5.1.3). Vamos, aqui, introduzir outras operações próprias deste tipo de objeto.

Exercício 5.2.1.

Aloque cada um dos seguintes vetores como um NumPy array:

a)

$x=(1.2,-3.1,4)$
b)

$y=x^{T}$
c)

$z=(\pi,\sqrt{2},e^{-2})^{T}$

5.2.2 Produto escalar e norma

Dados dois vetores,

	$\displaystyle x=(x_{0},x_{1},\dotsc,x_{n-1}),$		(32)
	$\displaystyle y=(y_{0},y_{1},\dotsc,y_{n-1})$		(33)

define-se o produto escalar por

x\cdot y=x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots+x_{n-1}y_{n-1}

(34)

Com o NumPy, podemos computá-lo com a função np.dot(). Por exemplo,

⬇

1>>> x = np.array([-1, 0, 2, 4])

2>>> y = np.array([0, 1, 1, -1])

3>>> np.dot(x,y)

4-2

A norma (euclidiana) de um vetor é definida por

\|x\|=\sqrt{\sum_{i=0}^{n-1}x_{i}^{2}}.

(35)

O NumPy conta com a função np.linalg.norm() para computá-la. Por exemplo,

⬇

1>>> np.linalg.norm(y)

21.7320508075688772

Exercício 5.2.2.

Faça um código para computar o produto escalar $x\cdot y$ sendo

	$\displaystyle x=(1.2,\ln(2),4),$		(36)
	$\displaystyle y=(\pi^{2},\sqrt{3},e)$		(37)

5.2.3 Matrizes

Uma matriz pode ser alocada como um NumPy array de dois eixos (dimensões). Por exemplo, as matrizes

	$\displaystyle A=\begin{bmatrix}2&-1&7\\ 3&1&0\end{bmatrix},$		(40)
	$\displaystyle B=\begin{bmatrix}4&0\\ 2&1\\ -8&6\end{bmatrix}$		(44)

podem ser alocadas como segue

⬇

1>>> A = np.array([[2,-1,7],[3,1,0]])

2>>> A

3array([[ 2, -1, 7],

4 [ 3, 1, 0]])

5>>> B = np.array([[4,0],[2,1],[-8,6]])

6>>> B

7array([[ 4, 0],

8 [ 2, 1],

9 [-8, 6]])

Como já vimos, o NumPy conta com operadores elemento-a-elemento que podem ser utilizados na álgebra envolvendo arrays, logo também aplicáveis a matrizes (consulte a Subseção 5.1.3). Vamos, aqui, introduzir outras operações próprias deste tipo de objeto.

Exercício 5.2.3.

Aloque cada uma das seguintes matrizes como um Numpy array:

a)

$A=\begin{bmatrix}-1&2\\ 2&-4\\ 6&0\end{bmatrix}$ (45)
b)

$B=A^{T}$

Exercício 5.2.4.

Seja

⬇

1>>> A = np.array([[2,1],[1,1],[-3,-2]])

Determine o formato (shape) dos seguintes arrays:

a)

A[:,0]
b)

A[:,0:1]
c)

A[1:3,0]
d)

A[1:3,0:1]
e)

A[1:3,0:2]

5.2.4 Inicialização de matrizes

Além das inicializações de arrays já estudadas na Subseção 5.1.1, temos mais algumas que são particularmente úteis no caso de matrizes.

•

np.eye(n): retorna a matriz identidade $n\times n$ .

⬇

1>>> np.eye(3)

2array([[1., 0., 0.],

3 [0., 1., 0.],

4 [0., 0., 1.]])
•

np.diag(v): retorna uma matriz diagonal formada pela list v.

⬇

1>>> np.diag([1,2,3])

2array([[1, 0, 0],

3 [0, 2, 0],

4 [0, 0, 3]])

Exercício 5.2.5.

Aloque a matriz escalar $C=[c_{ij}]_{i,j=0}^{99}$ , sendo $c_{ii}=\pi$ e $c_{ij}=0$ para $i\neq j$ .

5.2.5 Multiplicação de matrizes

A multiplicação da matriz $A=[a_{ij}]_{i,j=0}^{n-1,l-1}$ pela matriz $B=[b_{ij}]_{i,j=0}^{l-1,m-1}$ é a matriz $C=AB=[c_{ij}]_{i,j=0}^{n-1,m-1}$ tal que

c_{ij}=\sum_{k=0}^{l-1}a_{ik}b_{k,j}

(46)

O NumPy tem a função np.matmul() para computar a multiplicação de matrizes. Por exemplo, a multiplicação das matrizes dadas em (40) e (44), computamos

⬇

1>>> C = np.matmul(A,B)

2>>> C

3array([[-50, 41],

4 [ 14, 1]])

Observação 5.2.

É importante notar que np.matmul(A,B) é a multiplicação de matrizes, enquanto que * consiste na multiplicação elemento a elemento. Alternativamente a np.matmul(A,B) pode-se usar A @ B.

Exercício 5.2.6.

Aloque as matrizes

	$\displaystyle C=\begin{bmatrix}1&2&-1\\ 3&2&1\\ 0&-2&-3\end{bmatrix}$		(50)
	$\displaystyle D=\begin{bmatrix}2&3\\ 1&-1\\ 6&4\end{bmatrix}$		(54)
	$\displaystyle E=\begin{bmatrix}1&2&1\\ 0&-1&3\end{bmatrix}$		(57)

Então, se existirem, compute e forneça as dimensões das seguintes matrizes

a)

$C D$
b)

$D^{T}E$
c)

$D^{T}C$
d)

$D E$

5.2.6 Traço e Determinante de uma matriz

O NumPy tem a função arr.trace() para computar o traço de uma matriz (soma dos elementos de sua diagonal). Por exemplo,

⬇

1>>> A = np.array([[-1,2,0],[2,3,1],[1,2,-3]])

2>>> A.trace()

3-1

Já, o determinante é fornecido no módulo np.linalg. Por exemplo,

⬇

1>>> A = np.array([[-1,2,0],[2,3,1],[1,2,-3]])

2>>> np.linalg.det(A)

325.000000000000007

Exercício 5.2.7.

Compute e verifique os traços e os determinantes das seguintes matrizes

	$\displaystyle C=\begin{bmatrix}-2&3\\ 1&4\end{bmatrix}$		(60)
	$\displaystyle D=\begin{bmatrix}3&1&-1\\ 1&0&2\\ 4&2&-1\end{bmatrix}$		(64)

5.2.7 Rank e inversa de uma matriz

O rank de uma matriz é o número de linhas ou colunas linearmente independentes. O NumPy conta com a função matrix_rank() para computá-lo. Por exemplo,

⬇

1>>> np.linalg.matrix_rank(np.eye(3))

3>>> A = np.array([[1,2,3],[-1,1,-1],[0,3,2]])

4>>> np.linalg.matrix_rank(A)

A inversa de uma matriz full rank pode ser computada com a função np.linalg.inv(). Por exemplo,

⬇

1>>> A = np.array([[1,2,3],[-1,1,-1],[1,3,2]])

2>>> np.linalg.matrix_rank(A)

4>>> Ainv = np.linalg.inv(A)

5>>> np.matmul(A,Ainv)

6array([[ 1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00],

7 [ 1.11022302e-16, 1.00000000e+00, 2.22044605e-16],

8 [-2.22044605e-16, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]])

Exercício 5.2.8.

Compute, se possível, a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes

	$\displaystyle B=\begin{bmatrix}2&-1\\ -2&1\end{bmatrix}$		(67)
	$\displaystyle C=\begin{bmatrix}-2&0&1\\ 3&1&-1\\ 2&1&0\end{bmatrix}$		(71)

Verifique suas respostas.

5.2.8 Autovalores e autovetores de uma matriz

Um auto-par $(\lambda,v)$ , $\lambda$ um escalar chamado de autovalor e $v\neq 0$ é um vetor chamado de autovetor, é tal que

A\lambda=\lambda v.

(72)

O NumPy tem a função np.linalg.eig() para computar os auto-pares de uma matriz. Por exemplo,

⬇

1>>> np.linalg.eig(np.eye(3))

2(array([1., 1., 1.]), array([[1., 0., 0.],

3 [0., 1., 0.],

4 [0., 0., 1.]]))

Observamos que a função uma dupla, sendo o primeiro item um array contendo os autovalores (repetidos conforme suas multiplicidades) e o segundo item é a matriz dos autovetores, onde estes são suas colunas.

Exercício 5.2.9.

Compute os auto-pares da matriz

A=\begin{bmatrix}1&3&2\\ 3&2&-1\\ 2&-1&1\end{bmatrix}.

(73)

Então, verifique se, de fato, $Av=\lambda v$ para cada auto-par $(\lambda,v)$ computado.

Envie seu comentário

As informações preenchidas são enviadas por e-mail para o desenvolvedor do site e tratadas de forma privada. Consulte a Política de Use de Dados para mais informações. Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

| | | |