Colabore! Saiba mais screen_rotation

Ao navegar por este site , você concorda com a Política de Uso de Dados.

| | | | |

Python para Matemática 2 Sobre a Linguagem 4 Elementos da Programação Estruturada

3 Elementos da Linguagem

3.1 Classes de Objetos Básicos

Python é uma linguagem de programação dinâmica em que as variáveis/objetos são declaradas/os automaticamente ao receberem um valor/dado. Por exemplo, consideramos as seguintes instruções

⬇

1x = 2

2y = x * 3.0

Na primeira instrução, a variável x recebe o valor inteiro 2 e, então, é armazenado na memória do computador como um objeto da classe int (número inteiro). Na segunda instrução, y recebe o valor decimal $6.0$ (resultado de $2\times 3.0$ ) e é armazenado como um objeto da classe float (ponto flutuante de 64-bits). Podemos verificar isso, com as seguintes instruções

⬇

1print(x)

⬇

1print(y)

6.0

⬇

1print(type(x), type(y))

  <class ’int’> <class ’float’>

Observação 3.1.

(Comentários e Continuação de Linha.) Códigos Python admitem comentários e continuação de linha como no seguinte exemplo

⬇

1# isto é um comentário

2s = "isto é uma \

3string"

4print(s)

  isto é uma string

⬇

1 type(s)

  <class ’str’>

Observação 3.2.

(Notação científica.) O Python aceita notação científica. Por exemplo $5.2\times 10^{-2}$ é digitado da seguinte forma

⬇

15.2e-2

0.052

Observação 3.3.

(Casting.) Quando não há ambiguidade, pode-se fazer a conversão entre objetos de classes diferentes (casting). Por exemplo,

⬇

1x = 1

2print(x, type(x))

  1 <class ’int’>

⬇

1y = float(x)

2print(y, type(y))

1.0 <class ’float’>

Além de objetos numéricos e string, Python também conta com objetos list (lista), tuple ( $n$ -upla) e dict (dicionário). Estudaremos essas classes de objetos mais adiante no minicurso.

Exercício 3.1.1.

Antes de implementar, diga qual o valor de x após as seguintes instruções.

⬇

1x = 1

2y = x

3y = 0

Justifique seu resposta e verifique-a.

Exercício 3.1.2.

Implemente um código em que a(o) usuária(o) entra com valores para as variáveis x e y. Então, os valores das variáveis são permutados entre si. Dica: use input para a entrada de dados.

3.2 Operações Aritméticas Elementares

Os operadores aritméticos elementares são:

+ adição
- subtração
* multiplicação
/ divisão
** potenciação
\% módulo
// divisão inteira

Exemplo 3.1.

Estudamos a seguinte computação

⬇

12+8*3/2**2-1

7.0

Observamos que as operações ** tem precedência sobre as operações *, /, \%, //, as quais têm precedência sobre as operações +, -. Operações de mesma precedência seguem a ordem da esquerda para direita, conforme escritas na linha de comando. Usa-se parênteses para alterar a precedência entre as operações, por exemplo

⬇

1(2+8*3)/2**2-1

5.5

Observação 3.4.

(Precedência das Operações.) Consulte mais informações sobre a precedência de operadores em Python Docs: Operator Precedence.

Exercício 3.2.1.

Compute as raízes do seguinte polinômio quadrático

p(x)=2x^{2}-2x-4

(1)

usando a fórmula de Bhaskara¹¹endnote: ¹Bhaskara Akaria, 1114 - 1185, matemático e astrônomo indiano. Fonte: Wikipédia: Bhaskara II..

O operador \% módulo computa o resto da divisão e o operador // a divisão inteira, por exemplo

⬇

1>>> 5 % 2

⬇

15 // 2

Exercício 3.2.2.

Use o Python para computar os inteiros não negativos $q$ e $r$ tais que

25=q\cdot 3+r,

(2)

sendo $r$ o menor possível.

3.3 Funções e Constantes Elementares

O módulo Python math disponibiliza várias funções e constantes elementares. Para usá-las, precisamos importar o módulo em nosso código

⬇

1import math

Com isso, temos acesso a todas as definições e declarações contidas neste módulo. Por exemplo

⬇

1math.pi

3.141592653589793

⬇

1math.cos(math.pi)

-1.0

⬇

1math.sqrt(2)

1.4142135623730951

⬇

1math.log(math.e)

1.0

Observação 3.5.

(Função Logaritmo.) Notamos que math.log é a função logaritmo natural, i.e. $\ln(x)=\log_{e}(x)$ . A implementação Python para o logaritmo de base 10 é math.log(x, 10) ou, mais acurado, math.log10.

Exercício 3.3.1.

Compute

a)

$\displaystyle\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)$
b)

$\displaystyle e^{\log_{3}(\pi)}$
c)

$\displaystyle\sqrt[3]{-27}$

Exercício 3.3.2.

Refaça o Exercício 3.2.1 usando a função math.sqrt para computar a raiz quadrada do discriminante.

3.4 Operadores de Comparação Elementares

Os operadores de comparação elementares são

== igual a
!= diferente de
> maior que
< menor que
>= maior ou igual que
<= menor ou igual que

Estes operadores retornam os valores lógicos True (verdadeiro) ou False (falso).

Por exemplo, temos

⬇

1x = 2

2x + x == 4

True

Exercício 3.4.1.

Considere a circunferência de equação

c:\leavevmode\nobreak\ (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1.

(3)

Escreva um código em que a(o) usuária(o) entra com as coordenadas de um ponto $P=(x,y)$ e o código verifica se $P$ pertence ao disco determinado por $c$ .

Exercício 3.4.2.

Antes de implementar, diga qual é o valor lógico da instrução

⬇

1math.sqrt(3)**2 == 3

Justifique sua resposta e verifique!

3.5 Operadores Lógicos Elementares

Os operadores lógicos elementares são:

and e lógico
or ou lógico
not não lógico

Exemplo 3.2.

(Tabela Booleana do and.) A tabela booleana²²endnote: ²George Boole, 1815 - 1864, matemático britânico. Fonte: Wikipédia: George Boole. do and é

A	B	A and B
True	True	True
True	False	False
False	True	False
False	False	False

Por exemplo, temos

⬇

1x = 2

2(x > 1) and (x < 2)

False

Exercício 3.5.1.

Construa as tabelas booleanas do operador or e do not.

Exercício 3.5.2.

Use Python para verificar se $1.4<=\sqrt{2}<1.5$ .

Exercício 3.5.3.

Considere um retângulo $r:\leavevmode\nobreak\ ABDC$ de vértices $A=(1,1)$ e $D=(2,3)$ . Crie um código em que a(o) usuária(o) informa as coordenadas de um ponto $P=(x,y)$ e o código imprime True ou False para cada um dos seguintes itens:

1.

$P\in r$ .
2.

$P\in\partial r$ .
3.

$P\not\in\overline{r}$ .

Exercício 3.5.4.

Implemente uma instrução para computar o operador xor (ou exclusivo). Dadas duas afirmações A e B, A xor B é True no caso de uma, e somente uma, das afirmações ser False, caso contrário é False.

3.6 set

Um set em Python é uma coleção de objetos não ordenada, imutável e não admite itens duplicados. Por exemplo,

⬇

1a = {1, 2, 3}

2type(a)

  <class ’set’>

⬇

1b = set((2, 1, 3, 3))

2print(b)

  {1, 2, 3}

⬇

1a == b

True

⬇

1# conjunto vazio

2e = set()

Acima, alocamos o conjunto $a=\{1,2,3\}$ . Note que o conjunto $b$ é igual a $a$ . Observamos que o conjunto vazio deve ser construído com a instrução set() e não com {}³³endnote: ³Isso constrói um dicionário vazio, como estudaremos logo mais..

Observação 3.6.

(Tamanho de uma Coleção de Objetos.) A função len retorna o número de elementos de uma coleção de objetos. Por exemplo,

⬇

1len(a)

Operadores envolvendo conjuntos:

- diferença entre conjuntos
| união de conjuntos
& interseção de conjuntos
^ diferença simétrica

Exemplo 3.3.

Os conjuntos

	$\displaystyle A=\{2,\pi,-0.25,3,\text{'banana'}\},$		(4)
	$\displaystyle B=\{\text{'laranja'},3,\operatorname{arccos}(-1),-1\}$		(5)

podem ser alocados como sets

⬇

1import math

2A = {2, math.pi, -0.25, 3, 'banana'}

3B = {'laranja', 3, math.acos(-1), -1}

e, então, podemos computar:

a)

$A\setminus B$

⬇

1a = A - B

2print(a)
```
{-0.25, 2, ’banana’}
```

$A\cup B$

⬇

1b = A | B

2print(b)

{-0.25, 2, 3, 3.141592653589793, ’laranja’, ’banana’, -1}

c)

$A\cap B$

⬇

1c = A & B

2print(c)
```
{3, 3.141592653589793}
```
d)

$A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$

⬇

1d = A ^ B

2print(d)
```
{-0.25, 2, ’laranja’, ’banana’, -1}
```

Exercício 3.6.1.

Aloque como set cada um dos seguintes conjuntos:

a)

O conjunto $A$ dos números $-12\leq n\leq 6$ e que são divisíveis pares.
b)

O conjunto $B$ dos números $-12<n\leq 6$ e que são divisíveis por 3.

Então, compute o subconjunto de $A$ e $B$ que contém apenas os números divisíveis por $2$ e $3$ .

Observação 3.7.

(Compreensão de sets.) Python disponibiliza a sintaxe de compreensão de sets. Por exemplo,

⬇

1C = {x for x in A if type(x) == str}

2print(C)

{’banana’}

Exercício 3.6.2.

Considere o conjunto

Z=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}.

(6)

Faça um código Python para extrair o subconjunto $\mathcal{P}$ dos números pares do conjunto $Z$ . Depois, modefique-o para extrair o subconjunto $\mathcal{I}$ dos números ímpares. Dica: use de compreensão de sets.

3.7 tuple

Em Python, tuple é uma coleção ordenada e imutável de objetos. Por exemplo, na sequência alocamos um par, uma tripla e uma quadrupla ordenada usando tuples.

⬇

1a = (1, 2)

2print(a, type(a))

(1, 2) <class ’tuple’>

⬇

1b = -1, 1, 0

2print(b, len(b))

(-1, 1, 0) 3

⬇

1c = (0.5, 'laranja', {2, -1}, 2)

2print(c)

(0.5, ’laranja’, {2, -1}, 2)

Os elementos de um tuple são indexados, o índice $0$ corresponde ao primeiro elemento, o índice $1$ ao segundo elemento e assim por diante. Desta forma é possível o acesso direto a um elemento de um tuple usando-se sua posição. Por exemplo,

⬇

1print(c[2])

{2, -1}

Pode-se também extrair uma fatia (um subconjunto) usando-se a notação :. Por exemplo,

⬇

1d = c[1:3]

2print(d)

(’laranja’, {2, -1})

Operadores básicos:

+ concatenação

⬇

1a = (1, 2) + (3, 4, 5)

2print(a)
```
(1, 2, 3, 4, 5)
```
* repetição

⬇

1b = (1, 2) * 2
```
(1, 2, 1, 2)
```
in pertencimento

⬇

1c = 1 in (-1, 0, 1, 2)
```
True
```

Exercício 3.7.1.

Use sets para alocar os conjuntos

	$\displaystyle A=\{-1,0,2\},$		(7)
	$\displaystyle B=\{2,3,5\}.$		(8)

Então, compute o produto cartesiano $A\times B=\{(a,b):\leavevmode\nobreak\ a\in A,b\in B\}$ . Qual o número de elementos da $A\times B$ ? Dica: use a sintaxe de compreensão de sets (consulte a Observação 3.7).

Exercício 3.7.2.

Aloque o gráfico discreto da função⁴⁴endnote: ⁴O gráfico de uma função restrita a um conjunto $A$ é o conjunto $\operatorname{G}(f)|_{A}=\{(x,y):\leavevmode\nobreak\ x\in A,y=f(x)\}$ . $f(x)=x^{2}$ para $x=0,\frac{1}{2},1,2$ . Dica: use a sintaxe de compreensão de conjuntos (consulte a Observação 3.7).

3.8 list

Um list é uma uma coleção de objetos indexada e mutável. Por exemplo,

⬇

1x = [-1, 2, -3, -5]

2print(x, type(x))

  [-1, 2, -3, -5] <class ’list’>

⬇

1y = [1, 1, 'oi', 2.5]

2print(y)

[1, 1, ’oi’, 2.5]

⬇

1vazia = []

2print(len(vazia))

3print(len(y))

0
4

Os elementos de um list são indexados de forma análoga a um tuple, o índice $0$ corresponde ao primeiro elemento, o índice $1$ ao segundo elemento e assim por diante. Bem como, o índice $-1$ corresponde ao último elemento, o $-2$ ao penúltimo e segue. Por exemplo,

⬇

1x[-1] = 3.14

2print('x[0] = ', x[0])

3print(x = ', x)'

x[0] = 1
x = [-1, 2, -3, 3.14]

⬇

1x[:3] = [10, -20]

2print(x)

[10, -20, -3, 3.14]

Os operadores básicos de concatenação e de repetição também estão disponíveis para um list. Por exemplo,

⬇

1x = [1,2] + [3, 4, 5]

2print(x)

3y = [1,2]*2

4print(y)

[1, 2, 3, 4, 5]
[1, 2, 1, 2]

Observação 3.8.

list conta com várias funções prontas para a execução de diversas tarefas práticas como, por exemplo, inserir/deletar itens, contar ocorrências, ordenar itens, etc. Consulte na web Python Docs: More on Lists.

Observação 3.9.

(Alocação versus Cópia.) Estudamos o seguinte exemplo

⬇

1x = [2, 3, 1]

2y = x

3y[1] = 0

4print('x =', x)

x = [2, 0, 1]

Em Python, dados têm identificação única. Logo, neste exemplo, $x$ e $y$ apontam para o mesmo endereço de memória. Modificar $y$ é também modificar $x$ e vice-e-versa. Para desassociar $y$ de $x$ , $y$ precisa receber uma cópia de $x$ , como segue

⬇

1x = [2, 3, 1]

2print('id(x) =', id(x))

3y = x.copy()

4print('id(y) =', id(y))

5y[1] = 0

6print('x =', x)

7print('y =', y)

id(x) = 140476759980864
id(y) = 140476760231360
x = [2, 3, 1]
y = [2, 0, 1]

Observação 3.10.

(Anexar ou Estender.) Um list tem tamanho dinâmico, premitindo a anexação de um novo item ou sua estensão. A anexação de um item pode ser feita com o método list.append, equanto que a extensão é feita com list.extend. Por exemplo, com o list.append temos

⬇

1l = [1, 2]

2l.append((3,4)))

3print(l)

[1, 2, (3, 4)]

Equanto, que com o list.extend obtemos

⬇

1l = [1, 2]

2l.extend((3,4)))

3print(l)

[1, 2, 3, 4]

Exercício 3.8.1.

A solução de

x^{2}-2=0

(9)

pode ser aproximada pela iteração⁵⁵endnote: ⁵Iteração do método babilônico. Saiba mais em Wikipédia: Raiz quadrada.

	$\displaystyle x_{0}=1,$		(10)
	$\displaystyle x_{i+1}=\frac{1}{2}\left(x_{i}+\frac{2}{x_{i}}\right)$		(11)

para $i=0,1,2,\ldots$ . Aloque uma lista com as quatro primeiras iteradas, i.e. $[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]$ . Dica: use list.append.

Exercício 3.8.2.

Aloque cada um dos seguintes vetores como um list:

	$\displaystyle x=(-1,3,-2),$		(12)
	$\displaystyle y=(4,-2,0).$		(13)

Então, compute

a)

$x+y$
b)

$x\cdot y$

Dica: use uma compreensão de lista e os métodos zip e sum.

Exercício 3.8.3.

Uma matriz pode ser alocada como um encadeamento de lists. Por exemplo, a matriz

M=\begin{bmatrix}1&-2\\ 2&3\end{bmatrix}

(14)

pode ser alocada como a seguinte list

⬇

1>>> M = [[1,-2],[2,3]]

2>>> M

3[[1, -2], [2, 3]]

Use list para alocar a matriz

A=\begin{bmatrix}1&-2&1\\ 8&0&-7\\ 3&-1&-2\end{bmatrix}

(15)

e o vetor

x=(2,-3,1),

(16)

então compute $A x$ .

3.9 dict

Um dict é um mapeamento de objetos (um dicionário), em que cada item é um par chave:valor. Por exemplo,

⬇

1a = {'nome': 'triangulo', 'perimetro': 3.2}

2print(a, type(a))

{’nome’: ’triangulo’, ’perimetro’: 3.2} <class ’dict’>

O acesso a um item do dicionário pode ser feito por sua chave, por exemplo,

⬇

1a['nome'] = 'triângulo'

2print(a[nome])

’triângulo’

Pode-se adicionar um novo par, simplesmente, atribuindo valor a uma nova chave. Por exemplo,

⬇

1a['vértices'] = {'A': (0,0), 'B': (3,0), 'C': (0,4)}

2print('vétice B =', a['vértices']['B'])

vértice B = (3,0)

Exercício 3.9.1.

Considere a função afim

f(x)=3-x.

(17)

Implemente um dicionário para alocar a raiz da função, a interseção com o eixo $y$ e seu coeficiente angular.

Exercício 3.9.2.

Considere a função quadrática

g(x)=x^{2}-x-2

(18)

Implemente um dicionário para alocar suas raízes, vértice e interseção com o eixo $y$ .

Envie seu comentário

As informações preenchidas são enviadas por e-mail para o desenvolvedor do site e tratadas de forma privada. Consulte a Política de Use de Dados para mais informações. Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

| | | |