Em um plano, consideramos uma reta e um ponto não pertencente a . Chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano que são equidistantes de e de , i.e.
O ponto é chamado de foco da parábola. A reta é chamada de diretriz da parábola. A reta perpendicular a e que passa pelo ponto é chamada de eixo da parábola. O ponto de interseção entre a parábola e seu eixo é chamado de vértice da parábola.
5.3.1 Equação reduzida de uma parábola
Tomamos o sistema cartesiano de coordenadas com origem no vértice da parábola e eixo das abscissas paralelo à diretriz. Seja tal que
(5.72)
Logo, a diretriz tem equação . Da definição de parábola, pertence a parábola quando
(5.73)
Segue que
(5.74)
Elevando ao quadrado e expandindo, obtemos
(5.75)
Cancelando e rearranjando termos, obtemos
(5.76)
a chamada equação reduzida da parábola.
Exemplo 5.3.1.
A Figura 5.8 é um esboço do gráfica da parábola de equação reduzida
(5.77)
Observação 5.3.1.
Uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano e foco , tem equação reduzida
(5.78)
Exercícios resolvidos
ER 5.3.1.
Determine a equação reduzida da parábola de diretriz e vértice na origem do sistema cartesiano. Por fim, faça o esboço de seu gráfico.
Solução.
Uma parábola de equação reduzida
(5.79)
tem diretriz . Logo, sabendo que a diretriz é , temos . Então, concluímos que a equação reduzida da parábola é
(5.80)
A Figura 5.9 é o esboço do gráfico desta parábola.
ER 5.3.2.
Determine a equação reduzida da parábola de diretriz e vértice na origem do sistema cartesiano. Por fim, faça o esboço de seu gráfico.
Solução.
Uma parábola de equação reduzida
(5.81)
tem diretriz . Logo, sabendo que a diretriz é , temos . Então, concluímos que a equação reduzida da parábola é
(5.82)
A Figura 5.10 é o esboço do gráfico desta parábola.
Exercícios
E. 5.3.1.
Faça o esboço do gráfico da parábola de equação reduzida
(5.83)
Identifique no esboço a reta diretriz, o foco e o vértice da parábola.
Resposta.
E. 5.3.2.
Faça o esboço do gráfico da parábola de equação reduzida
(5.84)
Identifique no esboço a reta diretriz, o foco e o vértice da parábola.
Resposta.
E. 5.3.3.
Faça o esboço do gráfico da parábola de equação reduzida
(5.85)
Identifique no esboço a reta diretriz, o foco e o vértice da parábola.
Resposta.
E. 5.3.4.
Faça o esboço do gráfico da parábola de equação reduzida
(5.86)
Identifique no esboço a reta diretriz, o foco e o vértice da parábola.
Resposta.
E. 5.3.5.
Determine o foco de cada uma das seguintes parábolas:
a)
b)
c)
d)
Resposta.
a) ; b) ; c) ; d)
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