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Cálculo I

1 Limites 1.3 Limites laterais 1.5 Limites infinitos

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1.4 Limites no infinito

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Limites no infinito descrevem a tendência de uma dada função $f(x)$ quando $x\to-\infty$ ou $x\to\infty$ . Dizemos que o limite de $f(x)$ é $L$ quando $x$ tende a $-\infty$ , se os valores de $f(x)$ são arbitrariamente próximos de $L$ para todos os valores de $x$ suficientemente pequenos. Neste caso, escrevemos

\lim_{x\to-\infty}f(x)=L.

(1.147)

Veja a Figura 1.7.

Refer to caption — Figura 1.7: Ilustração da noção de limite de uma função quando $x\to-\infty$ .

Analogamente, dizemos que o limite de $f(x)$ é $L$ quando $x$ tende $\infty$ , se os valores de $f(x)$ são arbitrariamente próximos de $L$ para todos os valores de $x$ suficientemente grandes. Neste caso, escrevemos

\lim_{x\to\infty}f(x)=L.

(1.148)

Veja a Figura 1.8.

Exemplo 1.4.1.

Vamos inferir os limites de $f(x)=1/x$ para $x\to-\infty$ e $x\to\infty$ . A Figura 1.9 é um esboço do gráfico desta função.

Observamos que quanto menores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Daí, inferimos que

\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0.

(1.149)

Também, quanto maiores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Com isso, podemos concluir que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

(1.150)

Podemos computar estes limites com o Python+SymPy, usando os seguintes comandos:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(1/x, x, -oo)

4 0

5 >>> limit(1/x, x, oo)

6 0

Observação 1.4.1.(Regras para o cálculo de limites no infinito)

Supondo que $L$ , $M$ e $k$ são números reais e

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L

(1.151)

\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=M.

(1.152)

Então, temos as seguintes regras para limites no infinito:

•

Regra da multiplicação por escalar

$\lim_{x\to\pm\infty}kf(x)=kL$ (1.153)
•

Regra da soma/diferença

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)\pm g(x))=L\pm M$ (1.154)
•

Regra do produto

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)g(x)=LM$ (1.155)
•

Regra do quociente

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},\quad M\neq 0.$ (1.156)
•

Regra da potenciação

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))^{k}=L^{k},\text{ se }L^{k}\in\mathbb{R}.$ (1.157)

Exemplo 1.4.2.

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+1$		(1.158)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+\lim_{x\to\infty}1$		(1.159)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\right)^{2}+1$		(1.160)
	$\displaystyle\text{}\quad=0^{2}+1=1.$		(1.161)

Exemplo 1.4.3.

Consideramos o seguinte caso

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(1.162)

Observamos que não podemos usar a regra do quociente diretamente, pois, por exemplo, não existe o limite do numerador. A alternativa é multiplicar e dividir por $1/x^{3}$ (grau dominante), obtendo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(1.163)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}\cdot%\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$		(1.164)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}-\frac{2x}%{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-\frac{3x^{3}}{x^{3}}}$		(1.165)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^%{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-3}$		(1.166)

Então, aplicando as regras do quociente, da soma/subtração e da multiplicação por escalar, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(1.167)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^%{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-3}$		(1.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(1.169)

Proposição 1.4.1.

Dados dois polinômios

	$\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(1.170)
	$\displaystyle q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}$		(1.171)

temos

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_%{m}x^{m}}.

(1.172)

Demonstração.

Consulte o Exercício 1.4.8. ∎

Exemplo 1.4.4.

Retornando ao Exemplo 1.4.3, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(1.173)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{-3x^{3}}$		(1.174)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(1.175)

A ideia utilizada no Exemplo 1.4.3, também pode ser útil em limites no infinito envolvendo funções raiz.

Exemplo 1.4.5.

Vamos calcular

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}.

(1.176)

A ideia é multiplicar em cima e em baixo por $1/\sqrt{x^{2}}$ . Seguimos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}\frac{\frac{1}{\sqrt{x%^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}$	(1.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}}%{\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}}}}$	(1.178)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x%+1}{\|x\|}}$	(1.179)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x%+1}{x}}$	(1.180)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{1+\frac%{1}{x}}$		(1.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{1}=1$	(1.182)

1.4.1 Assíntotas horizontais

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A reta $y=L$ é dita assíntota horizontal ao gráfico da função $y=f(x)$ se

\lim_{x\to-\infty}f(x)=L

(1.183)

\lim_{x\to\infty}f(x)=L.

(1.184)

Exemplo 1.4.6.

No Exemplo 1.4.3, vimos que

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}=-\frac{1}{3}.

(1.185)

Logo, temos que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal do gráfico da função

f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(1.186)

Consulte a Figura 1.10.

Também, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}=\lim_{x\to\infty}%\frac{x^{3}}{-3x^{3}}$		(1.187)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(1.188)

O que reforça que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal desta função.

Exemplo 1.4.7.(Função exponencial natural)

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(1.189)

donde temos que $y=0$ é uma assíntota horizontal da função exponencial natural. Veja a Figura 1.11.

Exemplo 1.4.8.(Função logística)

Na ecologia, a função logística ¹¹endnote: ¹Consulte mais em Wikipédia.

P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}e^{-rt}\right)}

(1.190)

é um modelo de crescimento populacional de espécies, sendo $P(t)$ o número de indivíduos da população no tempo $t$ . O parâmetro $P_{0}$ é o número de indíviduos na população no tempo inicial $t=0$ , $r>0$ é a proporção de novos indivíduos na população devido a reprodução e $K$ é o limite de saturação do crescimento populacional (devido aos recursos escassos como alimentos, território e tratamento a doenças). Observamos que

\lim_{t\to\infty}P(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}%\cancelto{0}{e^{-rt}}\right)}=K

(1.191)

Ou seja, $P(t)=K$ é uma assíntota horizontal ao gráfico de $P=P(t)$ e é o limite de saturação do crecimento populacional. Na Figura 1.12, temos o esboço do gráfico da função logística para $t\geq 0$ .

1.4.2 Limite no infinito de função periódica

Uma função $f$ é periódica quando existe um número $T$ tal que

f(x)=f(x+T),

(1.192)

para todo $x\in\mathbb{R}$ no domínio de $f$ . As funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas²²endnote: ²Consulte mais nas Notas de Aula - Pré-Cálculo - Funções Trigonométricas.

O limite no infinito de funções periódicas não existe³³endnote: ³À exceção de funções constantes.. De fato, se $f$ não é constante, então existem números $x_{1}\neq x_{2}$ tal que $y_{1}=f(x_{1})\neq f(x_{2})=y_{2}$ . Como a função é periódica, $f(x_{1}+kT)=y_{1}$ e $f(x_{2}+kT)=y_{2}$ para todo número inteiro $k$ . Desta forma, não existe número $L$ que possamos tomar $f(x)$ arbitrariamente próxima, para todos os valores de $x$ suficientemente grandes (ou pequenos).

Exemplo 1.4.9.

Não existe

\lim_{x\to\infty}\operatorname{sen}(x),

(1.193)

pois os valores de $\operatorname{sen}x$ oscilam periodicamente no intervalo $[-1,1]$ . Veja a Figura 1.13.

Com o Python+SymPy, temos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(sin(x), x, oo)

4 AccumBounds(-1, 1)

indicando que o limite não existe, pois $\operatorname{sen}x$ oscila indefinidamente no intervalo $[-1,1]$ .

1.4.3 Exercícios resolvidos

ER 1.4.1.

Calcule

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1.

(1.194)

Solução 0.

Utilizando a regra da soma para limites no infinito, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+%\lim_{x\to 1}1$		(1.195)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x-1}\right)+1,$		(1.196)

observando que $\lim_{x\to\infty}1/(x-1)$ existe. De fato, o gráfico de $g(x)=1/(x-1)$ é uma translação de uma unidade à esquerda da função $f(x)=1/x$ . Uma translação horizontal finita não altera o comportamento da função para $x\to\infty$ . Portanto, como $f(x)=1/x\to\infty$ quando $x\to\infty$ , temos que $g(x)=f(x-1)=1/(x-1)\to\infty$ quando $x\to\infty$ , i.e.

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0.

(1.197)

Portanto, concluímos que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=1.

(1.198)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com o seguinte comando:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(1/(x-1)+1, x, oo)

4 1

ER 1.4.2.

Determine a(s) assíntota(s) horizontal(ais) do gráfico da função

f(x)=\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{x^{2}+2x^{4}-x}.

(1.199)

Solução 0.

Uma reta $y=L$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ , quando

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

(1.200)

Começamos com $x\to-\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}%}{x^{2}+2x^{4}-x}$		(1.201)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{4}}{2x^{4}}=2.$		(1.202)

Logo, $y=2$ é assíntota horizontal ao gráfico de $f(x)$ .

Agora, vamos ver a tendência da função para $x\to\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{%x^{2}+2x^{4}-x}$		(1.203)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2.$		(1.204)

Portanto, concluímos que $y=2$ é a única assíntota horizontal ao gráfico da função $f$ .

Os seguintes comandos do Python+SymPy permitem plotar o esboço do gráfico da função $f$ (linha azul) e sua assíntota horizontal (linha vermelha):

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> f = lambda x: (3-x+4*x**4-10*x**3)/(x**2+2*x**4-x)

4 >>> L = limit(f(x), x, oo)

5 >>> p = plot(f(x), (x, -15, 15), ylim = [-4, 6],\

6 line_color = "blue", show = False)

7 >>> q = plot(L, (x, -15, 15), line_color = "red", show = False)

8 >>> p.extend(q)

9 >>> p.show()

ER 1.4.3.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{-x}.

(1.205)

Solução 0.

Observamos que o gráfico de $f(x)=e^{-x}$ é uma reflexão em torno do eixo $y$ do gráfico da função $g(x)=e^{x}$ . No Exemplo 1.4.7, vimos que

\lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(1.206)

logo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}=\lim_{x\to\infty}g(-x)$		(1.207)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}g(x)=0.$		(1.208)

Veja o esboço do gráfico de $f(x)=e^{-x}$ na Figura 1.14.

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com o seguinte comando:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(exp(-x), x, oo)

4 0

1.4.4 Exercícios

E. 1.4.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{10}{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-10x^{-1}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-\frac{10}{x^{2}}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-\sqrt{2}}$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2-(x+1)^{-1}$

Resposta 0.

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$ ; e) $2$ ;

E. 1.4.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-\frac{1}{2}}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-s},\quad s>0$

Resposta 0.

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 1.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2^{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2\cdot 3^{x}+\sqrt{2}$

Resposta 0.

a) $0$ ; b) $1$ ; c) $\sqrt{2}$ ;

E. 1.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}+1$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}3+e^{-x}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}2e^{-x}-1$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e-e^{x}$

Resposta 0.

a) $1$ ; b) $3$ ; c) $-1$ ; d) $e$

E. 1.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$

Resposta 0.

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $-\frac{1}{2}$

E. 1.4.6.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}\cos x.

(1.209)

Resposta 0.

não existe.

E. 1.4.7.

Calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+e^{-x}}$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1-2x}{x+3}-e^{x}-1$ .

Resposta 0.

a) $1$ ; b) $-3$

E. 1.4.8.

Dados dois polinômios $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ e $q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}$ , mostre que

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_%{m}x^{m}}.

(1.210)

Resposta 0.

Dica: use as regras para o cálculo de limites.

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Cálculo I

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1.4 Limites no infinito

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\lim_{x\to-\infty}f(x)=L.

(1.147)

Veja a Figura 1.7.

\lim_{x\to\infty}f(x)=L.

(1.148)

Veja a Figura 1.8.

Exemplo 1.4.1.

Vamos inferir os limites de $f(x)=1/x$ para $x\to-\infty$ e $x\to\infty$ . A Figura 1.9 é um esboço do gráfico desta função.

Observamos que quanto menores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Daí, inferimos que

\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0.

(1.149)

Também, quanto maiores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Com isso, podemos concluir que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

(1.150)

Podemos computar estes limites com o Python+SymPy, usando os seguintes comandos:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(1/x, x, -oo)

4 0

5 >>> limit(1/x, x, oo)

6 0

Observação 1.4.1.(Regras para o cálculo de limites no infinito)

Supondo que $L$ , $M$ e $k$ são números reais e

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L

(1.151)

\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=M.

(1.152)

Então, temos as seguintes regras para limites no infinito:

•

Regra da multiplicação por escalar

$\lim_{x\to\pm\infty}kf(x)=kL$ (1.153)
•

Regra da soma/diferença

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)\pm g(x))=L\pm M$ (1.154)
•

Regra do produto

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)g(x)=LM$ (1.155)
•

Regra do quociente

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},\quad M\neq 0.$ (1.156)
•

Regra da potenciação

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))^{k}=L^{k},\text{ se }L^{k}\in\mathbb{R}.$ (1.157)

Exemplo 1.4.2.

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+1$		(1.158)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+\lim_{x\to\infty}1$		(1.159)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\right)^{2}+1$		(1.160)
	$\displaystyle\text{}\quad=0^{2}+1=1.$		(1.161)

Exemplo 1.4.3.

Consideramos o seguinte caso

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(1.162)

Observamos que não podemos usar a regra do quociente diretamente, pois, por exemplo, não existe o limite do numerador. A alternativa é multiplicar e dividir por $1/x^{3}$ (grau dominante), obtendo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(1.163)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}\cdot%\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$		(1.164)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}-\frac{2x}%{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-\frac{3x^{3}}{x^{3}}}$		(1.165)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^%{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-3}$		(1.166)

Então, aplicando as regras do quociente, da soma/subtração e da multiplicação por escalar, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(1.167)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^%{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-3}$		(1.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(1.169)

Proposição 1.4.1.

Dados dois polinômios

	$\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(1.170)
	$\displaystyle q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}$		(1.171)

temos

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_%{m}x^{m}}.

(1.172)

Demonstração.

Consulte o Exercício 1.4.8. ∎

Exemplo 1.4.4.

Retornando ao Exemplo 1.4.3, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(1.173)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{-3x^{3}}$		(1.174)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(1.175)

A ideia utilizada no Exemplo 1.4.3, também pode ser útil em limites no infinito envolvendo funções raiz.

Exemplo 1.4.5.

Vamos calcular

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}.

(1.176)

A ideia é multiplicar em cima e em baixo por $1/\sqrt{x^{2}}$ . Seguimos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}\frac{\frac{1}{\sqrt{x%^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}$	(1.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}}%{\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}}}}$	(1.178)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x%+1}{\|x\|}}$	(1.179)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x%+1}{x}}$	(1.180)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{1+\frac%{1}{x}}$		(1.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{1}=1$	(1.182)

1.4.1 Assíntotas horizontais

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A reta $y=L$ é dita assíntota horizontal ao gráfico da função $y=f(x)$ se

\lim_{x\to-\infty}f(x)=L

(1.183)

\lim_{x\to\infty}f(x)=L.

(1.184)

Exemplo 1.4.6.

No Exemplo 1.4.3, vimos que

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}=-\frac{1}{3}.

(1.185)

Logo, temos que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal do gráfico da função

f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(1.186)

Consulte a Figura 1.10.

Também, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}=\lim_{x\to\infty}%\frac{x^{3}}{-3x^{3}}$		(1.187)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(1.188)

O que reforça que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal desta função.

Exemplo 1.4.7.(Função exponencial natural)

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(1.189)

donde temos que $y=0$ é uma assíntota horizontal da função exponencial natural. Veja a Figura 1.11.

Exemplo 1.4.8.(Função logística)

Na ecologia, a função logística ¹¹endnote: ¹Consulte mais em Wikipédia.

P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}e^{-rt}\right)}

(1.190)

\lim_{t\to\infty}P(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}%\cancelto{0}{e^{-rt}}\right)}=K

(1.191)

1.4.2 Limite no infinito de função periódica

Uma função $f$ é periódica quando existe um número $T$ tal que

f(x)=f(x+T),

(1.192)

Exemplo 1.4.9.

Não existe

\lim_{x\to\infty}\operatorname{sen}(x),

(1.193)

pois os valores de $\operatorname{sen}x$ oscilam periodicamente no intervalo $[-1,1]$ . Veja a Figura 1.13.

Com o Python+SymPy, temos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(sin(x), x, oo)

4 AccumBounds(-1, 1)

indicando que o limite não existe, pois $\operatorname{sen}x$ oscila indefinidamente no intervalo $[-1,1]$ .

1.4.3 Exercícios resolvidos

ER 1.4.1.

Calcule

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1.

(1.194)

Solução 0.

Utilizando a regra da soma para limites no infinito, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+%\lim_{x\to 1}1$		(1.195)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x-1}\right)+1,$		(1.196)

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0.

(1.197)

Portanto, concluímos que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=1.

(1.198)

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com o seguinte comando:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(1/(x-1)+1, x, oo)

4 1

ER 1.4.2.

Determine a(s) assíntota(s) horizontal(ais) do gráfico da função

f(x)=\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{x^{2}+2x^{4}-x}.

(1.199)

Solução 0.

Uma reta $y=L$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ , quando

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

(1.200)

Começamos com $x\to-\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}%}{x^{2}+2x^{4}-x}$		(1.201)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{4}}{2x^{4}}=2.$		(1.202)

Logo, $y=2$ é assíntota horizontal ao gráfico de $f(x)$ .

Agora, vamos ver a tendência da função para $x\to\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{%x^{2}+2x^{4}-x}$		(1.203)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2.$		(1.204)

Portanto, concluímos que $y=2$ é a única assíntota horizontal ao gráfico da função $f$ .

Os seguintes comandos do Python+SymPy permitem plotar o esboço do gráfico da função $f$ (linha azul) e sua assíntota horizontal (linha vermelha):

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> f = lambda x: (3-x+4*x**4-10*x**3)/(x**2+2*x**4-x)

4 >>> L = limit(f(x), x, oo)

5 >>> p = plot(f(x), (x, -15, 15), ylim = [-4, 6],\

6 line_color = "blue", show = False)

7 >>> q = plot(L, (x, -15, 15), line_color = "red", show = False)

8 >>> p.extend(q)

9 >>> p.show()

ER 1.4.3.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{-x}.

(1.205)

Solução 0.

Observamos que o gráfico de $f(x)=e^{-x}$ é uma reflexão em torno do eixo $y$ do gráfico da função $g(x)=e^{x}$ . No Exemplo 1.4.7, vimos que

\lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(1.206)

logo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}=\lim_{x\to\infty}g(-x)$		(1.207)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}g(x)=0.$		(1.208)

Veja o esboço do gráfico de $f(x)=e^{-x}$ na Figura 1.14.

Com o Python+SymPy, podemos computar este limite com o seguinte comando:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = Symbol("x")

3 >>> limit(exp(-x), x, oo)

4 0

1.4.4 Exercícios

E. 1.4.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{10}{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-10x^{-1}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-\frac{10}{x^{2}}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-\sqrt{2}}$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2-(x+1)^{-1}$

Resposta 0.

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$ ; e) $2$ ;

E. 1.4.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-\frac{1}{2}}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-s},\quad s>0$

Resposta 0.

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 1.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2^{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2\cdot 3^{x}+\sqrt{2}$

Resposta 0.

a) $0$ ; b) $1$ ; c) $\sqrt{2}$ ;

E. 1.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}+1$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}3+e^{-x}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}2e^{-x}-1$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e-e^{x}$

Resposta 0.

a) $1$ ; b) $3$ ; c) $-1$ ; d) $e$

E. 1.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$

Resposta 0.

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $-\frac{1}{2}$

E. 1.4.6.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}\cos x.

(1.209)

Resposta 0.

não existe.

E. 1.4.7.

Calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+e^{-x}}$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1-2x}{x+3}-e^{x}-1$ .

Resposta 0.

a) $1$ ; b) $-3$

E. 1.4.8.

Dados dois polinômios $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ e $q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}$ , mostre que

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_%{m}x^{m}}.

(1.210)

Resposta 0.

Dica: use as regras para o cálculo de limites.

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Pedro H A Konzen

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